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2019年考研数学二真题及答案解析

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1.$当k\to\infty时,x-tanx与x^k为同阶无穷小,k=( )$
$$A.1\ B.2\ C.3\ D.4$$

2.$y=xsinx+cosx的拐点( )$
$$A.(0,2)\ B.(\pi,-2)\ C.(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\ D.(\frac{3\pi}{2},-\frac{3\pi}{2})$$

3.下面反常积分发散的是( )
$$A.\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx\ B.\int_0^{+\infty}xe^{-x^2}dx\ C.\int_0^{+\infty}\frac{arctanx}{1+x^2}dx\ D.\int_0^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx$$

4.$y''+ay'+by=ce^x通解是y=(C_1+C_2x)e^{-x}+e^x,则a,b,c依次为( )$
$$A.1,0,1\ B.1,0,2\ C.2,1,3\ D.2,1,4$$

5.$D=\{{(x,y)||x|+|y|<=\frac{\pi}{2}}\},I_1=\iint\limits_D{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy,\ I_2=\iint\limits_D{sin\sqrt{x^2+y^2}}dxdy\ I_3=\iint\limits_D(1-{cos\sqrt{x^2+y^2}})dxdy,则( )$
$$A.I_3<I_2<I_1\ B.I_2<I_1<I_3\ C.I_1<I_2<I_3\ D.I_2<I_1<I_3$$

6.$f(x)g(x)是二阶可导可连续,f(x)g(x)相切于a且曲率相等是\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}的什么条件?$
$$A.充分非必要条件\ B.充分必要条件\ C.必要非充分条件\ D.既非充分又非必要条件$$
7.$A是四阶矩阵,A^*是A的伴随矩阵,Ax=0的基础解系中只有两个向量,A^*的秩的是( )$
$$A.1\ B.2\ C.3\ D.4$$
8.$A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵,A^2+A=2E,且|A|=4,x^TAx规范型为( )$
$$A.y_1^2+y_2^2+y_3^2\ B.y_1^2+y_2^2-y_3^2\ C.y_1^2-y_2^2-y_3^2\ D.-y_1^2-y_2^2-y_3^2\ $$
9.$\lim_{x\to0}(x+2^x)^{\frac{2}{x}}=$

10.$曲线\left\{\begin{aligned}x=t-sint\\y=1-cost\end{aligned}\right.在t=\frac{3}{2}\pi对应点处的切线在y轴上的截距?$

11.$f(u)可导,z=yf(\frac{y^2}{x}),则2x\frac{{\partial}z}{{\partial}x}+y\frac{{\partial}z}{{\partial}y}=?$
12.$y=lncosx(0<x<\frac{\pi}{6})的弧长?$

13.$f(x)=x\int_1^x\frac{sint^2}{t}dt,则\int_0^1f(x)dx=?$
14.$$A=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & -1 & 1 \\3 & -2 & 2 & -1 \\0 & 0 & 3 & 4\end{matrix}\right)$$
$A_{ij}表示|A|中(i,j)的代数余子式,A_{11}-A_{12}?$
15.$f(x)=\left\{\begin{aligned}x^{2x},x>0\\xe^x+1,x<=0\end{aligned}\right.求f'(x),并求f(x)极值?$
16.不定积分
$$\int{\frac{3x+6}{(x-1)^2(x^2+x+1)}}dx$$
汤家凤高等数学065:09:47
17.$y=y(x)是微分方程y'-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\frac{x^2}{2}}满足y(1)=\sqrt{e}的特解。$
$$1.y(x)?\ 2.y(x)绕X轴旋转得到的旋转体的体积?$$
18.$D={(x,y)||x|<=y,(x^2+y^2)^3<=y^4}$
$$计算二重积分\iint\limits_{D}\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy?$$
19.$n是正整数,S_n是y=e^{-x}sinx与x轴的面积。求S_n,并求\lim_{n\to\infty}S_n?$
20.$$u(x,y)满足2\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}-2\frac{{\partial}^2u}{{\partial}y^2}+3\frac{{\partial}u}{{\partial}x}+3\frac{{\partial}u}{{\partial}y}=0$$
$求a,b使得u(x,y)=v(x,y)e^{ax+by}下,上述等式可化为v(x,y)的不含一阶偏导数的等式?$
21.$f(x,y)在[0,1]存在二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,\int_0^1f(x)dx=1。$
证明:
$1.存在\xi\epsilon(0,1),使得f'(\xi)=0。$
$2.存在\eta\epsilon(0,1),使得f''(\eta)<-2。$
22.向量组
$$\alpha_1=\left[\begin{matrix}1\\1\\4\\\end{matrix}\right],\alpha_2=\left[\begin{matrix}1\\0\\4\\\end{matrix}\right],\alpha_3=\left[\begin{matrix}1\\2\\a^2+3\\\end{matrix}\right]$$
$$\beta_1=\left[\begin{matrix}1\\1\\a+3\\\end{matrix}\right],\beta_2=\left[\begin{matrix}0\\2\\1-a\\\end{matrix}\right],\beta_3=\left[\begin{matrix}1\\3\\a^2+3\\\end{matrix}\right]$$
$若两个向量组等价,求a的值?并将\beta用\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示。$
23.$$A=\left[\begin{matrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\\\end{matrix}\right]相似。$$
$$1.x,y?\ 2.求可逆矩阵P使得P^{-1}AP=B?$$

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